Cálculo Combinatorio

1. Teoría combinatoria.

2. Clases de agrupaciones.

3. Cálculo Combinatorio.

4. Función Factorial.

Instrucción


La "Teoría Combinatoria" resuelve problemas que aparecen al estudiar y cuantificar las diferentes agrupaciones (ordenaciones, colecciones,...) que podemos formar con los elementos de un conjunto

“La combinatoria (no confundir con combinación), tiene por fin estudiar las distintas agrupaciones de objetos, prescindiendo  de  la  naturaleza  de  los  mismos pero no del orden. “

Estudiaremos como se combinan los objetos, cálculo que nos determinará la cantidad de grupos que se podrán formar con los datos dados. Por lo tanto para distinguir entre sí los elementos de cada conjunto considerado, los designaremos con letras o con otra notación que evite confundir unos con otros.

Clases de agrupaciones

Las agrupaciones que se forman en un problema concreto deben ser estudiadas ajustándose a las condiciones exigidas, pero existe un factor preponderante que permiten clasificarla en dos tipos muy definidos:
Este factor es la influencia que puede tener en cada uno de los grupos tomados es el orden de colocación de los elementos. Atendiendo a esto lo dividimos en dos clases:

Las que SI es necesario conocer el orden de sus elementos

Supongamos que disponemos de cuatro cifras 1,2,4,7 y queremos formar con ellas números distintos de tres cifras. Algunos de estos números serán:

124, 127, 214, 217, 412, 417, 147, 742, ………..

Para que dos de estas agrupaciones de cifras sean distintas, basta con que cumplan una de estas dos condiciones:

1. Que se diferencien en algún elemento. Por ejemplo 124 y 127
2. Que el orden de colocación sea diferente. Por ejemplo 127 y 217

Al estar formando los números cardinales debemos, por tanto, tener presente el factor discriminatorio constituido por el orden de colocación.

Otras agrupaciones que pertenecen a esta clase, tenemos;

La formación de Banderas eligiendo colores entre los conjuntos dados.

La formación de palabras a partir de una letras del abecedario.

AMOR ROMA

Las distintas forma de sentarse los alumnos en clase.

Las que NO es necesario conocer el orden de sus elementos

Supongamos que disponemos de cuatro cifras 1,2,4,7 y queremos formar con ellas números distintos de tres cifras de forma que cada grupos sea diferente al otro en la suma de sus dígitos.

En esta relación el distinto orden en colocación de las cifras No proporciona grupos distintos. Por ejemplo los grupos 1,2,7 y 2,1,7 por ser igual la suma de sus cifras, no son grupos diferentes. :

“El orden de agrupación no constituye un factor discriminatorio”.

 

Otras agrupaciones que pertenecen a esta clase, tenemos;

La formación de colores nuevos mezclando los de un conjunto dado.

La composición de comisiones eligiendo algunas personas entre un grupo determinado.

Los distintos juegos de domino donde aparecen cinco piedras blancas.

Cálculo Combinatorio. 

A continuación estudiaremos de una manera más formal cada uno de estos tipos de agrupaciones.

Supondremos que los elementos que intervienen no se repiten, constituyendo esta suposición el estudio de la combinatoria simple. 

Las reglas matemáticas que nos pueden ayudar son el cálculo de:

a) Variaciones  Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos elementos

b) Permutaciones  Lo que diferencia a cada subgrupo del resto es el orden de los elementos

c) Combinaciones. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen, sin que influya el orden.

Función Factorial

Antes de comenzar con esto veamos una función importante en matemática:

Se denomina función factorial y se la designa como “!” a una función f : en N definida por:

f(0) = 1

f(1) = 1

f(n +1) = (n +1) f(n)



Simbólicamente , para indicar f(n) escribimos simplemente n! y se lee "n factorial"

0! = 1

1! = 1

(n + 1)! = (n + 1) n!

La función factorial se calcula como el producto de todos los números (en forma decreciente) desde ese número hasta el uno. Así tenemos que:

5! = 5.4.3.2.1   entonces   5! = 120

10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1   entonces   10! = 3628800

El factorial de un número se puede también calcular como ese número por el factorial del número anterior (n + 1)! = (n + 1) . n! .
Así tendremos: 7! = 7. 6!

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