Combinaciones para el cálculo combinatorio

Cálculo.

Para calcular el número de combinaciones de m elementos tomados de n en n hagamos lo siguiente:

En cada combinación de orden n permutemos entre sí sus elementos, cada combinación dará lugar a n! permutaciones, el conjunto total de agrupaciones así obtenido es el  número de variaciones de n en n.

Y en consecuencia, el número de combinaciones de m elementos de orden n es igual a:

Combinaciones sin Repetición

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Combinaciones mediante factoriales:

La expresión “Cm,n" representa las variaciones de "m" elementos, formando subgrupos de "n" elementos.

En este caso, como vimos en la lección anterior, un subgrupo se diferenciará del resto, solo por los elementos que lo forman, y no por el orden de dichos elementos.

Problemas de Combinaciones sin repetición

1.Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)

No importa el orden (son grupos de alumnos).

No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.

Por tanto, se pueden formar  142506  grupos distintos

2. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Por tanto, son 139838116 apuestas.

3.  Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.

No importa el orden.

No puede haber dos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.

Se pueden formar 210 combinaciones

Combinaciones Con Repetición

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

Si se repiten los elementos.

Combinaciones mediante factoriales:

Problema de Combinaciones con repetición

1.  En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles?

No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con repetición.

Por tanto, se pueden formar 70 grupos distintos 

Permutaciones para el cálculo combinatorio

1.  Permutaciones

2.  Permutaciones Circulares

3.  Permutaciones con repetición

Se llaman permutaciones de m elementos a los diferentes grupos que se pueden formar de manera que: en cada grupo intervengan los m elementos, y se diferencie entre sí en el orden de colocación.

Con la definición podemos concluir

Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:

·         Sí entran todos los elementos.

·         Sí importa el orden.

·         No se repiten los elementos.

Ejemplos

1. Calcular las permutaciones de 6 elementos. 

      P6 = 6! = 6 1 = 720

2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5. 

m = 5     n = 5 

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. 

Sí importa el orden. 
Son números distintos el 123, 231, 321. 

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Una persona no se puede repetir. 

El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes. 

Permutaciones Circulares

Es un caso particular de las permutaciones. 

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar"en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.  

Ejemplos

1. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.

2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? 

Permutaciones con Repetición

Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite aveces , el segundo b veces, el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :

Sí entran todos los elementos. 

Sí importa el orden. 

Sí se repiten los elementos. 

Ejemplos

1. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

•m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9 

•Sí entran todos los elementos. 

•Sí importa el orden. 

•Sí se repiten los elementos. 

2. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cinco verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 10 banderas?

• m = 10     a = 3     b = 2     c = 5     a + b + c = 10
• Sí entran todos los elementos.
• Sí importa el orden.
• Sí se repiten los elementos.

3. ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 5 amarillas y 6 azules?

El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas.