Combinaciones para el cálculo combinatorio

Cálculo.

Para calcular el número de combinaciones de m elementos tomados de n en n hagamos lo siguiente:

En cada combinación de orden n permutemos entre sí sus elementos, cada combinación dará lugar a n! permutaciones, el conjunto total de agrupaciones así obtenido es el  número de variaciones de n en n.

Y en consecuencia, el número de combinaciones de m elementos de orden n es igual a:

Combinaciones sin Repetición

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Combinaciones mediante factoriales:

La expresión “Cm,n" representa las variaciones de "m" elementos, formando subgrupos de "n" elementos.

En este caso, como vimos en la lección anterior, un subgrupo se diferenciará del resto, solo por los elementos que lo forman, y no por el orden de dichos elementos.

Problemas de Combinaciones sin repetición

1.Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)

No importa el orden (son grupos de alumnos).

No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.

Por tanto, se pueden formar  142506  grupos distintos

2. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Por tanto, son 139838116 apuestas.

3.  Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.

No importa el orden.

No puede haber dos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.

Se pueden formar 210 combinaciones

Combinaciones Con Repetición

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

Si se repiten los elementos.

Combinaciones mediante factoriales:

Problema de Combinaciones con repetición

1.  En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles?

No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con repetición.

Por tanto, se pueden formar 70 grupos distintos 

Permutaciones para el cálculo combinatorio

1.  Permutaciones

2.  Permutaciones Circulares

3.  Permutaciones con repetición

Se llaman permutaciones de m elementos a los diferentes grupos que se pueden formar de manera que: en cada grupo intervengan los m elementos, y se diferencie entre sí en el orden de colocación.

Con la definición podemos concluir

Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:

·         Sí entran todos los elementos.

·         Sí importa el orden.

·         No se repiten los elementos.

Ejemplos

1. Calcular las permutaciones de 6 elementos. 

      P6 = 6! = 6 1 = 720

2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5. 

m = 5     n = 5 

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. 

Sí importa el orden. 
Son números distintos el 123, 231, 321. 

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Una persona no se puede repetir. 

El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes. 

Permutaciones Circulares

Es un caso particular de las permutaciones. 

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar"en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.  

Ejemplos

1. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.

2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? 

Permutaciones con Repetición

Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite aveces , el segundo b veces, el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :

Sí entran todos los elementos. 

Sí importa el orden. 

Sí se repiten los elementos. 

Ejemplos

1. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

•m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9 

•Sí entran todos los elementos. 

•Sí importa el orden. 

•Sí se repiten los elementos. 

2. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cinco verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 10 banderas?

• m = 10     a = 3     b = 2     c = 5     a + b + c = 10
• Sí entran todos los elementos.
• Sí importa el orden.
• Sí se repiten los elementos.

3. ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 5 amarillas y 6 azules?

El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas.

Las Variaciones

Calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden establecer con los "n" elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos elementos.

Por ejemplo, calcular las posibles variaciones de 2 elementos que se pueden establecer con los número 1, 2 y 3.
Ahora tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,2). En este caso los subgrupos (1,2) y (2,1) se consideran distintos.

Fórmula para hallar las Variaciones

Sin Repetición

Para calcular el número de variaciones sin repetición se aplica la siguiente fórmula:

La expresión "Vm,n" representa las variaciones de "m" elementos, formando subgrupos de "n" elementos.

En este caso, como vimos en la lección anterior, un subgrupo se diferenciará del resto, bien por los elementos que lo forman, o bien por el orden de dichos elementos.




Ejemplo: V10,4son las variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos:

Es decir, podríamos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.

Fórmula para hallar las Variaciones

Con Repetición

Para calcular el número de variaciones sin repetición se aplica la siguiente fórmula:

Ejemplo: V´10,4 son las variaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4 elementos:

Es decir, podríamos formar 10.000 subgrupos diferentes de 4 elementos

Problemas de Variaciones

1. ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.

Por tanto, se pueden formar 504 números

 2. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Al  tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse.

Por tanto, se pueden formar 729 números

 3. ¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?

Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse.

Por tanto, se pueden formar 1024 palabras

4. Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

• m = 5n = 3 m ≥ n
• No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
• Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
• No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

Por tanto, se pueden formar 60 cifras de tres números diferentes

 

5. Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares?

• Sí entran todos los elementos: 3 < 5
• Sí importa el orden.
• Sí se repiten los elementos.

Por tanto, se pueden formar 243 números

Si el número es par tan sólo puede terminar en 2.

Por tanto, se pueden formar 81 números pares

6. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

• 
  
  m = 6     n = 3
  
• Tenemos que separar el número en dos bloques:
  
• El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares) m = 5  n = 1 V5,1
  
• El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito. m = 6     n = 2  V´6,2
  

Por tanto, se pueden formar 180 números de tres cifras  

7. Con el (punto, raya) del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones?

• No entran todos los elementos en un caso y sí entran en lo otros
• Sí importa el orden.
• Sí se repiten los elementos.

Por tanto, se pueden formar 30 señales

Cálculo Combinatorio

1. Teoría combinatoria.

2. Clases de agrupaciones.

3. Cálculo Combinatorio.

4. Función Factorial.

Instrucción


La "Teoría Combinatoria" resuelve problemas que aparecen al estudiar y cuantificar las diferentes agrupaciones (ordenaciones, colecciones,...) que podemos formar con los elementos de un conjunto

“La combinatoria (no confundir con combinación), tiene por fin estudiar las distintas agrupaciones de objetos, prescindiendo  de  la  naturaleza  de  los  mismos pero no del orden. “

Estudiaremos como se combinan los objetos, cálculo que nos determinará la cantidad de grupos que se podrán formar con los datos dados. Por lo tanto para distinguir entre sí los elementos de cada conjunto considerado, los designaremos con letras o con otra notación que evite confundir unos con otros.

Clases de agrupaciones

Las agrupaciones que se forman en un problema concreto deben ser estudiadas ajustándose a las condiciones exigidas, pero existe un factor preponderante que permiten clasificarla en dos tipos muy definidos:
Este factor es la influencia que puede tener en cada uno de los grupos tomados es el orden de colocación de los elementos. Atendiendo a esto lo dividimos en dos clases:

Las que SI es necesario conocer el orden de sus elementos

Supongamos que disponemos de cuatro cifras 1,2,4,7 y queremos formar con ellas números distintos de tres cifras. Algunos de estos números serán:

124, 127, 214, 217, 412, 417, 147, 742, ………..

Para que dos de estas agrupaciones de cifras sean distintas, basta con que cumplan una de estas dos condiciones:

1. Que se diferencien en algún elemento. Por ejemplo 124 y 127
2. Que el orden de colocación sea diferente. Por ejemplo 127 y 217

Al estar formando los números cardinales debemos, por tanto, tener presente el factor discriminatorio constituido por el orden de colocación.

Otras agrupaciones que pertenecen a esta clase, tenemos;

La formación de Banderas eligiendo colores entre los conjuntos dados.

La formación de palabras a partir de una letras del abecedario.

AMOR ROMA

Las distintas forma de sentarse los alumnos en clase.

Las que NO es necesario conocer el orden de sus elementos

Supongamos que disponemos de cuatro cifras 1,2,4,7 y queremos formar con ellas números distintos de tres cifras de forma que cada grupos sea diferente al otro en la suma de sus dígitos.

En esta relación el distinto orden en colocación de las cifras No proporciona grupos distintos. Por ejemplo los grupos 1,2,7 y 2,1,7 por ser igual la suma de sus cifras, no son grupos diferentes. :

“El orden de agrupación no constituye un factor discriminatorio”.

 

Otras agrupaciones que pertenecen a esta clase, tenemos;

La formación de colores nuevos mezclando los de un conjunto dado.

La composición de comisiones eligiendo algunas personas entre un grupo determinado.

Los distintos juegos de domino donde aparecen cinco piedras blancas.

Cálculo Combinatorio. 

A continuación estudiaremos de una manera más formal cada uno de estos tipos de agrupaciones.

Supondremos que los elementos que intervienen no se repiten, constituyendo esta suposición el estudio de la combinatoria simple. 

Las reglas matemáticas que nos pueden ayudar son el cálculo de:

a) Variaciones  Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos elementos

b) Permutaciones  Lo que diferencia a cada subgrupo del resto es el orden de los elementos

c) Combinaciones. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen, sin que influya el orden.

Función Factorial

Antes de comenzar con esto veamos una función importante en matemática:

Se denomina función factorial y se la designa como “!” a una función f : en N definida por:

f(0) = 1

f(1) = 1

f(n +1) = (n +1) f(n)



Simbólicamente , para indicar f(n) escribimos simplemente n! y se lee "n factorial"

0! = 1

1! = 1

(n + 1)! = (n + 1) n!

La función factorial se calcula como el producto de todos los números (en forma decreciente) desde ese número hasta el uno. Así tenemos que:

5! = 5.4.3.2.1   entonces   5! = 120

10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1   entonces   10! = 3628800

El factorial de un número se puede también calcular como ese número por el factorial del número anterior (n + 1)! = (n + 1) . n! .
Así tendremos: 7! = 7. 6!

Has Clic en el siguiente link
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/concurso2004/ver/06/combinatoria_archivos/combinatoria_definicion.html

Operación con los Conjuntos

2.1. Intersección de Conjuntos

2.2. Unión de Conjuntos

2.3. Diferencia de Conjuntos

2.4. Unión con respecto a la Intersección (propiedad)

2.5. Intersección con respacto a la Unión (propiedad)

2.6. Diferencia Simétrica de Conjuntos

2.7. Ejemplo de aplicación

2.1 Intersección de conjuntos

Se define intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de los elementos que son comunes a A y B.


2.2 Unión de conjuntos

La unión de conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

2.3.Intersección con respecto a la Unión

2.4.Unión con respecto a la Intersección

2.5. Diferencia entre dos conjuntos

2.6. Diferencia Simétrica con conjuntos
2.7. Ejemplo de aplicación de las operaciones 

Actividad Interactiva en el siguiente link
http://www.amschool.edu.sv/Paes/c1.htm